Похідна
Для xⁿ похідна дорівнює nxⁿ⁻¹. Похідна суми — сума похідних. Стала має нульову похідну.
Для f(x) = 3x³ − 4x + 7 маємо f′(x) = 9x² − 4.
Монотонність і точки екстремуму
Розв’яжи f′(x) = 0, поділи область визначення й перевір знак похідної. Зміна знака з мінуса на плюс дає локальний мінімум.
f(x) = x² − 4x, f′(x) = 2x − 4. До x = 2 знак мінус, після — плюс, тому x = 2 є точкою мінімуму.
Первісна та площа
Якщо F′ = f, то визначений інтеграл від a до b дорівнює F(b) − F(a). Для площі між графіком і віссю Ox розбий відрізок у нулях, якщо функція змінює знак.
Площа під y = 2x на [0; 3] дорівнює 3² − 0² = 9.
Самоперевірка
Знайди похідну x⁴ − 5x + 2.
Відповідь і пояснення
4x³ − 5.
Знайди площу під y = 3 на [1; 5].
Відповідь і пояснення
Прямокутник має висоту 3 і ширину 4, тому площа 12.